什麼是Z 分數計算器？
Z 分數計算器可將原始分數轉換為標準化 Z 分數，也支援反向轉換。輸入觀測值以及母體平均值和標準差，即可取得 Z 分數、累積機率和百分位排名。適用於統計課程與資料分析。
本計算器在同一面板中提供七種模式。正向把原始 x 值換算成 Z 值，反向則相反。求 μ 與 求 σ 可在已知 Z 值時反求缺少的分布參數。「兩個 Z 之間」計算標準常態分布落在兩個臨界值之間的機率，適合假設檢定。「信賴水準 → Z」讀取信賴百分比（例如 95），回傳雙側臨界 Z（95% 約為 1.96）。批次模式接收一整列觀測值，為每個值回傳 Z 值、累積機率與百分位，並可下載 CSV。每個單值結果都會顯示代入數字後的公式、必要時的白話解讀，以及標示相關區域的鐘形曲線圖。
使用方法
- 輸入觀測值 (x)、母體平均值 (μ) 和標準差 (σ)。
- 它會顯示 Z 分數、累積機率、百分位、通俗解讀以及代入數據的逐步公式推導。
- 用標籤切換模式：在已知 Z 值時反求平均數或標準差、計算兩個 Z 值之間的面積、由信賴水準推導臨界 Z，或在批次模式中一次處理一整列數值（可下載 CSV）——鐘形曲線與計算步驟會隨之更新。
何時使用
- 把某次考試成績放進班級分布裡,看看落在第幾百分位。
- 在統計入門作業裡跑單尾或雙尾 z 檢定,直接拿到 p 值。
- 在常態分布資料中,反推前 5% 對應的原始分數臨界點。
結果
一名學生考了 78 分，班級平均值為 70，標準差為 5。Z 分數為 1.6，表示該生位於第 94.5 百分位——成績優於全班 94.5% 的同學。
常見問題
- z 分數到底代表什麼?
- 代表一個數值高於或低於平均多少個標準差。z = +1.5 表示這個值比平均高一個半標準差,z = -2 表示低兩個標準差。負的 z 分數不代表「差」,只是落在分布的左半邊。
- 為什麼累計機率和雙尾 p 值不一樣?
- 累計機率是 z 分數「左側」的面積,用來求百分位。雙尾 p 值是 |z| 以外兩側尾部面積之和,假設檢定裡沒事先指定方向時通常用它。
- 資料不是常態分布也能用嗎?
- z 分數本身只是標準化,任何資料都能算。但機率和百分位是依常態假設給的,資料偏態嚴重時百分位會失真。若是樣本平均,樣本量大(n > 30)時中央極限定理會讓計算重新可靠。
- 反向模式是用來做什麼的?
- 已經知道 z 分數想求原始值時使用。例如 SAT 平均 1050、標準差 200,問第 95 百分位對應幾分?反向模式輸入 z = 1.645、平均 1050、標準差 200,得到 1379。
- 這裡使用的常態 CDF 精度如何?
- 採用 Abramowitz–Stegun 近似公式,在常用範圍(|z| 6 以內)精度約 7 位小數。課程作業和應用統計完全綽綽有餘。