什麼是階乘計算器？

階乘計算器可計算 n!（n 的階乘），即從 1 到 n 所有正整數的乘積。階乘廣泛應用於組合數學、機率論與統計學。本工具支援大數字的即時運算，並逐步展示每一步的乘法過程。

工具接受 0 到 10000 之間的任何整數,輸出階乘值的同時給出完整展開式 n × (n-1) × … × 1,並附上一句白話解釋:比方說 12! 等於把 12 個不同物品排成一列的方法數。由於使用 BigInt 運算,即使像 10000! 這樣的結果也是精確值,不會四捨五入。也可以對一段範圍產生階乘表,結果可複製,表格可下載。

使用方法

1. 輸入一個 0 到 10000 之間的非負整數——每個結果都是精確值,不會被舍入。
2. 查看階乘結果及其完整的乘法展開式。
3. 複製計算結果，或下載某個數值範圍內的階乘對照表。

何時使用

• 計算一組不同物品(撲克、選手、檔案)的排列方式有幾種。
• 解機率題時,算二項式係數 nCr 公式中的分母。
• 估計暴力列舉式排列演算法的搜尋空間規模。

結果

輸入 12，得到 479,001,600。工具將展示 12 × 11 × 10 × … × 1 = 479,001,600，可用於計算 12 個元素的排列數。

常見問題

計算器最大能算多大的數?

最大到 10000。工具採用 BigInt 大整數運算,不論結果有幾位都是精確的——10000! 是一個 35660 位的數字,照樣能瞬間算出。設定 10000 上限只是因為幾萬位的結果顯示和閱讀都太麻煩,與精度無關。

0! 等於 1 是規定還是 bug?

是數學上的「空積」約定:0! = 1。這樣當 r = 0 或 r = n 時,nCr = n! / (r!·(n-r)!) 才不需要額外處理。沒有這個約定,組合數學程式碼處處要加例外。

可以算小數或負數的階乘嗎?

不行。階乘只在非負整數上有定義。把它推廣到連續值要用伽瑪函數:Γ(n+1) 在整數處等於 n!,在多數非整數處也有值,但那是另一套計算器。

較大結果旁邊顯示的 9.33 × 10^157 是什麼?

那只是科學記號的簡要概覽,並不是答案本身。計算器一律先完整列出所有數字(100! 的 158 位一位不漏地顯示)。當結果達到 16 位或更多時,會額外加上一行精簡的 9.33 × 10^157 以及位數,方便你一眼看出量級。不會做任何四捨五入或取代,按下複製便會把完整精確的數字放進剪貼簿。

算 100! 在實際生活中有什麼用?

100! 會出現在兩副 52 張撲克牌的全排列數、罕見事件機率估計,以及泰勒級數等數值方法中——分母的階乘讓每一項隨階數迅速縮小。

相關工具